La division

1. Définition

La division est une opération qui permet de calculer un quotient.

2. Propriétés

2.1 Commutation

• La soustraction n'est pas commutative : on ne peut pas modifier l’ordre des termes multipliés
  • 25 : 5 = 5
  • 5 : 25 = 0,2

2.2 Association

• La division n'est pas associative : on ne peut pas calculer des quotients intermédiaires
  • (60 : 10) : 2 = 3
  • 60 : (10 : 2) = 12

3. Division euclidienne

• La division euclidienne est une division qui ne tombe pas juste et qui présente un "reste" en plus du quotient
  • Dividende (a) : nombre à diviser
  • Diviseur (b) : nombre de parts
  • Quotient (q) : résultat de la division
  • Reste (r) : reste de la division
    • r < b : Le reste (r) est inférieur au diviseur (b)

• Dividende : Diviseur = Quotient + Reste
• a : b = q + r
  • 47 : 5 = 9 + 2 (45 divisé par 5 est égal à 9, et il reste 2)
  • 20 : 4 = 5 (20 divisé par 4 est égal à 5, et il reste 0)

• Vérification d'une division :
  • Dividende = Diviseur x Quotient + Reste
  • a = bq +r
    • 47 = (9 x 5) + 2
    • 47 = 45 + 2

4. Division de nombres relatifs

3.1 Résultat entier

• Pour diviser 236 par 5 (236 : 5)
  • Le diviseur (5) à 1 chiffre, donc on le compare au premier chiffre du dividente (236), le 2
  • 2 est inférieur à 5 (2 < 5)
  • Donc, on compare les 2 premiers chiffres du dividende (236) au diviseur (5), le 23
  • 23 est supérieur à 5 (23 > 5)
  • Donc, on divise 23 par 5
    • Dans 23, il y a 5 fois 4
    • 5 x 4 = 20
  • 4 est le premier chiffre du quotient
  • On soustrait 20 à 23
    • 23 - 20 = 3
    • Donc 23 : 5 = 4 , il reste 3
  • On conserve le 3 puis on abaisse le chiffre suivant du dividende (236), le 6
  • On obtient le chiffre 36
  • Ensuite, on compare 36 au diviseur (5)
  • 35 est supérieur à 5 (36 > 5)
  • Donc, on divise le chiffre 36 par 5
    • Dans 36, il y a 7 fois 5
    • 5 x 7 = 35
  • 7 est le second chiffre du quotient
  • On soustrait 36 à 35
    • 36 - 35 = 4
    • Donc 35 : 5 = 7 , il reste 1
  • Il ne reste plus de chiffre dans le dividende, la division est terminée pour obtenir un résultat entier
  • Donc, 236 : 5 = 47 + 1

3.2 Résultat décimal

• Pour diviser 236 par 5 (236 : 5)
  • 236 : 5 = 47 + 1
  • Pour continuer le calcul, on ajoute un 0 au reste et on place une virgule à droite du résultat
  • On obtient 10 pour le reste et 47, pour le quotient
  • Ensuite, on compare 10 au diviseur (5)
  • 10 est supérieur à 5 (10 > 5)
  • Si le dividende est supérieur au diviseur, on abaisse un autre 0 et on ajoute un 0 après la virgule du quotient, puis on compare de nouveau le dividende et le diviseur
  • Donc, on divise le chiffre 10 par 5
    • Dans 10, il y a 2 fois 5
    • 2 x 5 = 10
  • 2 est le premier chiffre décimal du quotient
  • On soustrait 10 à 10
    • 10 - 10 = 0
    • Donc 10 : 5 = 2 , il reste 0
  • Il ne reste plus de chiffre dans le dividende, la division est terminée
  • Donc, 236 : 5 = 47,2

4. Division de nombres décimaux

4.1 Dividende décimal

• Lorsque l'on divise un nombre décimal, on place une virgule au quotient lorsque l'on abaisse le premier chiffre décimal du dividende

• Pour diviser 63,25 par 25 (63,25 : 25)
  • Le diviseur (25) à 2 chiffre, donc on le compare au premier chiffre du dividente (63,25), le 63
  • 63 est supérieur à 25 (63 > 25)
  • Donc, on divise 63 par 25
    • Dans 63, il y a 2 fois 25
    • 2 x 25 = 50
  • 2 est le premier chiffre du quotient
  • On soustrait 50 à 63
    • 63 - 20 = 13
    • Donc 63 : 5 = 2 , il reste 13
  • On conserve le 13 puis on abaisse le chiffre suivant du dividende (63,25), le 2
  • 2 étant le premier chiffre décimal du dividende, on place une virgule au quotient
  • On obtient 132 pour le dividende et 2, pour le quotient
  • Ensuite, on compare 132 au diviseur (25)
  • 132 est supérieur à 25 (132 > 25)
  • Donc, on divise le chiffre 132 par 25
    • Dans 132, il y a 5 fois 25
    • 5 x 25 = 125
  • 5 est le second chiffre du quotient et le premier chiffre décimal du quotient
  • On soustrait 125 à 132
    • 132 - 125 = 7
    • Donc 132 : 25 = 5 , il reste 7
  • On conserve le 7 puis on abaisse le chiffre suivant du dividende, le 5
  • On obtient le chiffre 75
  • Ensuite, on compare 75 au diviseur (25)
  • 75 est supérieur à 25 (75 > 25)
  • Donc, on divise le chiffre 75 par 25
    • Dans 75, il y a 3 fois 25
    • 3 x 25 = 75
  • 3 est le troisième chiffre du quotient et le second chiffre décimal du quotient
  • On soustrait 75 à 75
    • 75 - 75 = 0
    • Donc 75 : 25 = 3 , il reste 0
  • Il ne reste plus de chiffre dans le dividende, la division est terminée
  • Donc, 63,25 : 25 = 2,53

4.1 Diviseur décimal

• Lorsque l'on divise un nombre par un diviseur décimal, on transforme le diviseur en nombre entier en mulitpliant le diviseur et le dividende par un 10, 100, 1000, ...

• Pour diviser 6,325 par 2,5 (6,325 : 2,5)
  • On transforme le diviseur décimal en entier en multipliant le diviseur et le dividende par 10
    • 2,5 x 10 = 25
    • 6,325 x 10 = 63,25
  • Donc, 6,325 : 2,5 = 63,25 : 25
  • 63,25 : 25 = 2,53

5. Règles de divisibilité

• Un nombre est divisible par 2 s'il est pair et donc s'il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8

• Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est égale à 3, 6 ou 9

• Un nombre est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5

• Un nombre est divisible par 6 s'il est divisible par 2 et par 3 ; donc s'il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 et si la somme de ses chiffres est égale à 3, 6 ou 9

• Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est égale à 9