La fraction

1. Définition

Une fraction est une division non effectuée entre deux nombres entiers relatifs, le dénominateur étant différent de 0.

• a : numérateur
• b : dénominateur
• _ : barre de fraction

2. Simplifications de fractions

2.1 Simplification

• Pour simplifier une fraction, on développe le produit du numérateur et du dénominateur par un même nombre non nul, que l'on supprime s'il se trouve au dénominateur et au numérateur en nombre de fois égal

2.2 Plus Grand Commun Diviseur : PGCD

• Le PGCD est le Plus Grand Commun Diviseur (nombre entier) d'aux moins deux nombres, qui permet de simplifier l'écriture de fractions

• Le nombre c est le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) des nombres entiers a et b, si c est à la fois un diviseur de a et un diviseur de b
• On écrit PGCD(a ; b) = c

2.2.1 Calcul du PGCD de deux nombres entiers

• Pour calculer le PGCD de deux nombres entiers, on fait la liste de tous les diviseurs de chaque nombre, puis on sélectionne le plus grand nombre commun

• Utilisation du PGCD pour simplifier la fraction 60/18
  • Calcul du PGCD de 60/18 :
    • Diviseur de 60 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60
    • Diviseur de 18 : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18
    • Diviseurs communs à 60 et 18 : 1 ; 2 ; 3 ; 6
    • Plus Grand Commun Diviseur à 60 et 18 : 6
    • PGCD(60 ; 18) = 6
  • Simplification de 60/18 :
    • 60 : 6 = 10
    • 18 : 6 = 3
    • Donc 60/18 = 10/3

2.2.2 Calcul du PGCD par l'algorithme d'Euclide

• Soient a et b deux nombres entiers tel que a > b , et r le reste de la division euclidienne de a par b. On a : PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r)
• Pour calculer le PGCD de deux nombres entiers par l'algorithme d'Euclide, on écris les divisions euclidiennes successives de ces deux nombres, en utilisant comme dénominateur le diviseur précedent et comme diviseur le reste de la division précédente. Le dernier reste non nul est le PGCD des deux nombres de la première division

• Utilisation du PGCD pour simplifier la fraction 556/148
  • Calcul du PGCD de 556/148 :
    • 556 : 148 = 3, il reste 112
    • 148 : 112 = 1, il reste 36
    • 112 : 36 = 3, il reste 4
    • 36 : 4 = 9, il reste 0
    • 4 est le dernier reste non nul
    • Donc le Plus Grand Commun Diviseur à 556 et 148 est 4
    • PGCD(556 ; 148) = 4
  • Simplification de 556/148 :
    • 556 : 4 = 139
    • 148 : 7 = 37
    • Donc 556/148 = 139/37

2.3 Plus Petit Commun Multiple : PPCM

• Le PPCM est le Plus Petit Commun Multiple (nombre entier), qui permet de mettre des fractions au même dénominateur pour simplifier la réalisation de l'addition et/ou de la soustraction d'au moins deux fractions

• Le nombre c est le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) des nombres entiers a et b, si c est à la fois un multiple de a et un multiple de b
• On écrit PPCM(a ; b) = c

• Utilisation du PPCM pour additionner 1/15 + 5/9
  • Calcul du PPCM de 15 et de 9 :
    • Multiples de 15 : 0 ; 15 ; 30 ; 45 ; 60 ; ...
    • Multiples de 9 : 0 ; 9 ; 18 ; 27 ; 36 ; 45 ; 54 ; ...
    • Plus Petit Commun Multiple non nul à 15 et 9 : 45
    • PPCM(15 ; 9) = 45
  • Simplification de l'additionn 1/15 + 5/9 :
    • 1/15 + 5/9 = (1 x 3)/(15 x 3) + (5 x 5)/(9 x 5)
    • 1/15 + 5/9 = 3/45 + 25/45
    • 1/15 + 5/9 = (3 + 25)/45
    • 1/15 + 5/9 = 28/45

3. Addition de fractions

3.1 Addition de fractions à dénominateurs identiques

• Lorsque des fractions ont le même dénominateur, on additionne les numérateurs

• a/b + c/b = (a + c)/b
  • 9/5 + 4 /5 = (9 + 4)/5 = 13/5
  • 8/3 + 2/3 + 5/3 = (8 + 2 + 5)/3 = 15/3

3.2 Addition de fractions à dénominateurs différents

• Pour additionner des fractions qui n'ont pas le même dénominateur, on les réduit au même dénominateur : on remplace les fractions par des fractions de même valeur ayant des dénominateurs égaux (on multiplie les termes de chaque fraction par le dénominateur de l'autre fraction)

• a/b + c/d = [(a x d) + (c x b)]/(b x d)
  • 2/3 + 7/5 = [(2 x 5) + (7 x 3)]/(3 x 5)
  • 2/3 + 7/5 = [10 + 21]/15
  • 2/3 + 7/5 = 31/15

3.3 Addition d'un nombre décimal

• Pour additionner un nombre décimal avec une fraction on le transforme en nombre fractionnaire

• 4,7 + 8/5 = 47/10 + 8/5
• 4,7 + 8/5 = 47/10 + 16/10
• 4,7 + 8/5 = 63/10
• 4,7 + 8/5 = 6,3

4. Soustraction de fractions

4.1 Soustraction de fractions à dénominateurs identiques

• Lorsque des fractions ont le même dénominateur, on soustrait les numérateurs

• a/b - c/b = (a - c)/b
  • 9/5 - 4 /5 = (9 - 4)/5 = 5/5
  • 8/3 - 2/3 - 5/3 = (8 - 2 - 5)/3 = 1/3

4.2 Soustraction de fractions à dénominateurs différents

• Pour soustraire des fractions qui n'ont pas le même dénominateur, on les réduit au même dénominateur : on remplace les fractions par des fractions de même valeur ayant des dénominateurs égaux (on multiplie les termes de chaque fraction par le dénominateur de l'autre fraction)

• a/b - c/d = [(a x d) - (c x b)]/(b x d)
  • 7/5 + 2/3 = [(7 x 3) + (2 x 5)]/(3 x 5)
  • 7/5 + 2/3 = [21 - 10]/15
  • 7/5 + 2/3 = 11/15

4.3 Soustraction d'un nombre décimal

• Pour soustraire un nombre décimal à une fraction on le transforme en nombre fractionnaire

• 4,7 - 8/5 = 47/10 - 8/5
• 4,7 - 8/5 = 47/10 - 16/10
• 4,7 - 8/5 = 31/10
• 4,7 - 8/5 = 3,1

5. Multiplication de fractions

5.1 Multiplication de deux fractions

• Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux, et les dénominateurs entre eux

• a/b x c/d = ac/bd
  • 4/5 x 7/6 = (4 x 7)/(5 x 6) = 28/30
  • 2/3 x 1/3 x 3/4 = (2 x 1 x 3)/(3 x 3 x 4) = 6/36

5.2 Multiplication d'un nombre entier

• Pour multiplier un nombre entier et une fraction, on multiplie le numérateurs par le nombre entier

• a/b x c/d = ac/bd (ici b = 1)
• a x c/d = ac/d
  • 4 x 7/3 = (4 x 7)/3
  • 2 x 3 x 1/4 = (2 x 3 x 1)/4 = 6/4

5.3 Multiplication d'un nombre décimal

• Pour multiplier un nombre décimal à une fraction on le transforme en nombre fractionnaire

• 0,5 x 8/3 = 5/10 x 8/3
• 0,5 x 8/3 = (5 x 8)/(10 x 3)
• 0,5 x 8/3 = 40/30

6. Division de fractions

6.1 Division de deux fractions

• Pour diviser deux fractions, on multiplie la première fraction par l'inverse de la seconde fraction

• a/b : c/d = a/b x d/c = ad/bc
  • 4/5 : 7/6 = (4 x 6)/(5 x 7) = 24/35
  • 2/3 : 1/3 : 3/4 = [(2 x 3)/(3 x 1)] : 3/4 = 6/3 : 3/4 = (6 x 4)/(3 x 3) = 24/9

6.2 Division d'un nombre entier

• Pour division un nombre entier par une fraction, on multiplie le nombre entier par l'inverse de la fraction

• a/b : c/d = a/b x d/c = ad/bc (ici b = 1)
• a : c/d = a x d/c = ad/c
  • 4 : 7/3 = (4 x 3)/7 = 12/7
  • 2 : 3 : 1/4 = 2/1 : 3/1 : 1/4 = [(2 x 1)/(1 x 3)] : 1/4 = 2/3 : 1/4 = (2 x 4)/(3 x 1) = 8/3

6.3 Division d'un nombre décimal

• Pour diviser un nombre décimal par une fraction on le transforme en nombre fractionnaire

• 2,5 : 8/3 = 25/10 : 8/3
• 2,5 : 8/3 = (25 x 3)/(10 x 8)
• 2,5 : 8/3 = 75/80