Les puissances

1. Définition

Une puissance d'un nombre est le résultat du produit de ce nombre plusieurs fois par lui-même.

aⁿ est égal au produit de n facteurs égaux à a : on fait n multiplications de a

aⁿ se prononce « a puissance n » ou « a exposant n »

• Exemple :
  • 5⁴ : « 5 puissance 4 »
  • 5⁴ = 5 x 5 x 5 x 5
  • 5⁴ = 625

2. Cas particuliers

2.1 Puissance d'exposant 0

• La puissance 0 d'un nombre d'un nombre non nul est égale à 1

• a⁰ = 1

2.2 Puissance d'exposant 1

• La puissance 1 d'un nombre d'un nombre est égale à ce nombre

• a¹ = a

2.3 Puissance d'exposant 2

• La puissance 2 d'un nombre d'un nombre est le produit de deux facteurs égaux à ce nombre
• La puissance 2 d'un nombre est appelé le « carré d'un nombre »

• a² = a x a

• Exemple :
  • 5² : « carré de 5 »
  • 5² = 5 x 5
  • 5² = 25

Un carré parfait est un nombre obtenu en multipliant un nombre entier par lui-même.

2.4 Puissance d'exposant 3

• La puissance 3 d'un nombre d'un nombre est le produit de trois facteurs égaux à ce nombre
• La puissance 3 d'un nombre est appelé le « cube d'un nombre »

• a³ = a x a x a

• Exemple :
  • 5³ : « cube de 5 »
  • 5³ = 5 x 5 x 5
  • 5³ = 125

Un cube parfait est un nombre obtenu en multipliant trois fois un nombre entier par lui-même.

2.5 Puissance d'exposant négatif

• La puissance d'exposant négatif non nul d'un nombre, est égal à l'inverse de la puissance d'exposant positif de ce nombre

• Exemple :
  • 5^-4 : « 5 puissance moins 4 »
  • 5^-4 = 1 / 5⁴
  • 5^-4 = 1 / (5 x 5 x 5 x 5)
  • 5^-4 = 1 / 625
  • 5^-4 = 0,0016

3. Formules de calculs

3.1 Produit de puissances d'un même nombre

• Le produit de puissances d'un même nombre est égal à la puissance de ce nombre dont l'exposant est la somme des exposants

• aⁿ x a^m = a^{n + m}

• Exemple :
  • 5² x 5³ = 5^{2 + 3}
  • 5² x 5³ = 5⁵
  • 5² x 5³ = 5 x 5 x 5 x 5 x 5
  • 5² x 5³ = 3125

3.2 Quotient de puissances d'un même nombre

• Le quotient de puissances d'un même nombre est égal à la puissance de ce nombre dont l'exposant est la différence des exposants

• Exemple :
  • 5⁴ / 5² = 5^{4 - 2}
  • 5⁴ / 5² = 5²
  • 5⁴ / 5² = 5 x 5
  • 5⁴ / 5² = 25

3.3 Puissance d'une puissance d'un nombre

• La puissance d'une puissance d'un nombre est égal à la puissance de ce nombre dont l'exposant est le produit des exposants

• (aⁿ)^m = a^{n x m}

• Exemple :
  • (5²)³ = 5^{2 x 3}
  • (5²)³ = 5⁶
  • (5²)³ = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
  • (5²)³ = 15625

3.4 Puissance d'un produit

• La puissance d'un produit est égal au produit de la puissance de chacun des nombres de ce produit

• (a x b)ⁿ = aⁿ x bⁿ

• Exemple :
  • (2 x 3)² = 2² x 3²
  • (2 x 3)² = (2 x 2) x (3 x 3)
  • (2 x 3)² = 4 * 9
  • (2 x 3)² = 36

3.5 Puissance d'un quotient

• La puissance d'un quotient est égal au quotient de la puissance de chacun des nombres de ce quotient

• Exemple :
  • (8 / 4)² = 8² / 4²
  • (8 / 4)² = (8 x 8) / (4 x 4)
  • (8 / 4)² = 64 / 16
  • (8 / 4)² = 4